テイラー展開

今日も今話題のテイラー展開についてちょっと書きます。

昨日はテイラー展開についてがっかりしたことを書きましたが、今日は嬉しかったことを書きたいと思います。

ちょっと昔に「博士の愛した数式」が流行ったときですね、僕は

という事実を知りました。
正直「博士の愛した数式」はそんなちゃんと本読んだり映画見たりはしてないんですが。
テレビでやってた映画を軽くみたくらいなんですけど。
でもそのちらっと見たときにこのことをやってたんですね。

もう不思議でたまらなくて。
なんで実数の虚数乗が実数、それも整数になるんだろう、って。
その当時はeがどんな数なのかも全然知らなかったし（というか今もそんなにわかってない）、もう不思議でたまらなくて、数学のおもしろさを実感したわけです。

でもテイラー展開を学んでスッキリですね。
一応軽く紹介しておきます。

まずe^xをテイラー展開で表すわけです。
そしてそこにx=iθを代入。
それで計算していくと

という式が得られるそうです。

これがオイラーの関係式ってやつですね。
そんで最後にθ=πを代入すれば例の値が得られるわけです。

美しいですよねー。

ちなみに、テイラー展開が可能な関数のことを解析関数と呼ぶのですが、解析関数においては独立変数を実数ではなく複素数で取る（今回の場合はx=iθですね）方が自然であり、美しい性質を得られることが多いそうです。
そのような数学の世界を複素函数論というらしいです。
もはやこの辺のことは数学科の方々に任せるしかないですよね。
僕らは所詮微積分を道具として使うにすぎないので。

いやー、でもホント数学って美しいっす。